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素数が無限個存在することの証明

今日の英語の講義で学んだこと.
ユークリッドが,素数が無限個存在することの証明に用いた手法.

自分は,オイラーの証明の方は前にどっかで見たことがあったけど,ユークッドの方の証明は記憶になかった.
証明は,すごい簡単で,高校数学の美しい物語 から引用させてもらうと,

素数が有限個しかないと仮定する。その有限個の素数全体を  p_1,p_2,\dots,p_n とおく。 ここで, p = p_1 p_2 \cdots p_{n} + 1 という数を考えると, p はどの  p_i でも割り切れないので素数となる。しかし, p はどの  p_i よりも大きく,素数全体の集合に入っていないので矛盾

背理法による証明だけど,簡潔でわかりやすい.

高校数学の美しい物語 を見ると,サイダックという人による新しい証明が最近示されたようで,wikipedia を見る限り 2006年のことのようだ.